Ley de Hooke

Cuando nos adentramos en el mundo de la física, nos damos cuenta de que existen una gran cantidad de leyes de todo tipo que intentan explicar el comportamiento de la energía, la materia y de los fenómenos naturales.

Una de las leyes más importantes y reconocidas en este campo es la Ley de Hooke, la cual se sigue utilizando en numerosos aspectos a día de hoy. En este artículo te detallaremos todo lo que debes conocer acerca de ella.

¿Qué es la Ley de Hooke?

La Ley de Hooke o Ley de Elasticidad de Hooke establece que: 

El desplazamiento o la deformación que sufre un objeto sometido a una fuerza, será directamente proporcional a la fuerza deformante o a la carga, es decir, a mayor fuerza aplicada, mayor deformación o desplazamiento.

Es el principio físico de la conducta elástica de los sólidos. Tiene mucha importancia en numerosos campos como la física y el estudio de resortes elásticos (su demostración más efectiva), además de ser un concepto primordial en ingeniería,  arquitectura, construcción y  diseño.

Una vez hemos visto la definición de esta ley, es necesario realizar un análisis más profundo para  poder conocer su origen, explicar su funcionamiento  y ver qué aplicaciones tiene.

¿Cuál es el origen de la Ley de Hooke?

En el siglo XVII, concretamente en 1660, un científico y arquitecto inglés llamado Robert Hooke, contemporáneo del célebre Isaac Newton, comenzó a estudiar los resortes y la elasticidad.

Al estudiarlos observó que para muchos materiales la curva de esfuerzo contra la deformación tiene una región lineal, por lo que se dio cuenta de que dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión de tal resorte. A esto se le empezó a conocer como la ley de Hooke.
Se dice que esta ley fue publicada por Hooke oculto detrás de un misterioso anagrama (ceiiinosssttuv), del cual puede reconstruirse el enunciado en latín de su ley, Ut tensio sic vis («como la extensión, así la fuerza»), porque temía que alguien pudiera arrebatarle su descubrimiento. Un tiempo más tarde, sin embargo, hizo públicos sus hallazgos.

¿Qué es la Elasticidad?

Definimos elasticidad como la propiedad que tienen los materiales sólidos para conseguir volver a su forma y tamaño originales después de que se hayan eliminado las fuerzas que causan una deformación en ellos.

Técnicamente la  elasticidad en física se refiere a la propiedad mecánica de un cuerpo para revertir su deformación o volver a su forma original.

¿Cuál es la Fórmula de la Ley de Hooke?

Esta ley, también conocida como la Ley de Elasticidad de Hooke, principalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza que se aplica sobre el mismo :

Siendo ∆L el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada, y F la fuerza aplicada. 

La Ley de Hooke se aplica a materiales elásticos hasta el límite denominado límite de elasticidad.

Los aceros que se usan en la obtención de piezas laminadas muestran, ante tensiones de extensión (o compresión) inferiores a un cierto valor σP, una proporcionalidad entre las tensiones (σ) y los alargamientos unitarios (ε).
Esta ley supone que si la tensión no aparece, la forma del objeto vuelve exactamente a la forma original, o bien, si esta tensión disminuye a la mitad, la deformación se reduce a la mitad. Es decir, en ella no se observa ningún fenómeno de histéresis.

¿Qué es el Módulo de Young y cómo se calcula?

El módulo de Young (E), también conocido como el Módulo de Elasticidad longitudinal es un parámetro que tiene la función de medir el comportamiento elástico que tiene un material, dependiendo de la dirección en la que se aplique una fuerza.

Este modelo puede utilizarse para conseguir pronosticar el estiramiento o la compresión de un objeto determinado, siempre y cuando la fuerza no exceda el límite elástico del material. Además se usa para explicar las propiedades elásticas de objetos lineales que pueden ser extendidos o comprimidos.

Para calcularlo es necesario utilizar la siguiente fórmula:

siendo:

E: Módulo de elasticidad (módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young)

σ: Tensión ejercida sobre el área de la sección transversal del elemento (tensión=esfuerzo/area)

ε: Deformación unitaria entendida como la relación entre el cambio de longitud con respecto a la longitud inicial

La aplicación de la ley de Hooke para el cálculo de la elasticidad varía si se trata de resortes, o de sólidos elásticos.

¿Qué es un resorte?

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte.

Un resorte es un objeto que puede ser deformado por una fuerza y volver a su forma original en la ausencia de esta.

Hay una gran cantidad de resortes de todo tipo, pero los más comunes y los que nos resultan más familiares son los muelles en espiral. Los resortes son una parte primordial de muchos dispositivos mecánicos; desde bolígrafos a motores de coches de carreras.

¿Cuál es la Fórmula de Ley de Hooke para resortes?

La fórmula más común de la ley de Hooke es la siguiente:

Donde:

• F es la fuerza deformante
• ΔL es la variación que experimenta la longitud del resorte, ya sea una compresión o extensión.
• k es la constante de proporcionalidad bautizada como constante de resorte o constante elástica, generalmente expresada en Newtons sobre metros (N/m).

Para el cálculo de ΔL, es decir, la deformación del objeto, es necesario conocer la longitud inicial (L) y la final (L).

Sólidos elásticos 

En los sólidos elásticos la distribución de iones es mucho más compleja que en los resortes. La deformación tiene que ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke

¿Cuáles son las leyes de Hooke generalizadas?

Pueden ser de tres tipos:

• Caso unidimensional En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar (σ = σ11, ε = ε11, C11 = E) y la ecuación anterior se reduce a: σ = Eε 

• Caso tridimensional isótropo Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requiere además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (ν). Las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

• Caso tridimensional ortótropo

El comportamiento elástico de un material ortotrópico se caracteriza por nueve constantes independientes: 

• 3 módulos de elasticidad longitudinal
• 3 módulos de rigidez
• 3 coeficientes de Poisson  

La relación entre los componentes del tensor tensión y los componentes del tensor deformación viene dada por:

Donde: 

Como se puede observar, los componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de las tensiones tienen una forma más compleja:

Donde:

La matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es simétrica ya que de las relaciones (*) se la simetría de la anterior matriz puesto que:

¿Cuál es el coeficiente de Poisson?

El coeficiente de Poisson o módulo de Poisson es una cantidad adimensional, característica de cada material,  es un indicativo que nos indica la deformación de un trozo de material ante la aplicación de ciertos esfuerzos.

Cuando un material se somete a cierta tensión o compresión, sufre una deformación, el cociente entre la deformación transversal y la deformación longitudinal es precisamente el coeficiente de Poisson.

¿Cuál es la fórmula del coeficiente de Poisson?

Para calcularla tenemos que determinar la deformación unitaria longitudinal y transversal.

La deformación unitaria longitudinal εL es el estiramiento dividido entre el largo original:

εL = (L’ – L) / L

De igual manera, la deformación unitaria transversal εT es el estrechamiento radial dividido entre el diámetro original:

εT = (D’ – D) / D

Por lo tanto, el coeficiente de Poisson se calcula mediante la siguiente fórmula:

ν = – εT / εL

En el caso de fuerzas cortantes sobre cuerpos elásticos de Hooke, la Ley se expresa como: τ = G•α en la que la constante de proporcionalidad (G) entre deformaciones angulares y tensiones se denomina módulo de elasticidad transversal o módulo de tensión cortante. Esta constante o módulo no es independiente del de Young, sino que está relacionado con él según la relación:

¿Qué aplicaciones tiene? 

• Rebotar: La ley de Hooke la utilizan las personas que practican puenting, así consiguen determinar cuánto se estira la cuerda, al experimentar la fuerza de su peso cuando caen al vacío.

• Dinamómetro: su aplicación más conocida, son aparatos compuestos por un resorte y una escala que permiten medir escalarmente fuerzas.

• Medicina: Para determinar el grado en el que un órgano lleno de aire o líquido, como el pulmón, la vejiga o los vasos sanguíneos, puede recuperar sus dimensiones originales cuando se elimina una fuerza de compresión o distensión. 

• Arquitectura:  permite predecir el efecto que tiene el peso de los automóviles sobre un puente y los materiales de los que está hecho.

Construcción: permite calcular el comportamiento de un fuelle o un conjunto de resortes, dentro de alguna máquina específica o aparato industrial.

Ejercicios

En el siguiente video podemos ver cómo se calcula la Ley de Hooke